Abaque de Hall-Black

D'abord, représentons les lignes de niveau des fonctions Abs[f(z)] et Arg[f(z)], où z est la fonction de transfert en boucle ouverte et

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Ce sont des cercles, constituant deux faisceaux conjugués: une démonstration théorique est ci-dessous.

* Les familles  R=Cte et Theta=Cte sont tout simplement les cercles de centre 0 et les droites passant par l'origine. Ces lignes ont les propriétés:
* d'appartenir à l'ensemble des {cercles} U {droites}
* d'être orthogonales (entre droites & cercles).
Or ces deux propriétés sont conservées par les similitudes et par l'application z->1/z, et donc par composition par toute homographie.

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PolarMap trace l'image des "lignes" R=cte et Theta=cte.
On l'applique donc à la fonction g, réciproque de f.

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Plus précisément, les lignes |f|=Cte  sont les cercles "à points limites" A=(-1,0) et O.
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Si z se propage sur une courbe du plan des complexes, une valeur extrémale de |f(z)| correspondra à un cercle que la courbe vient frôler sans la couper:
ci-dessous, on représente une droite, qui touche un minimum (à droite) et un maximum (à gauche). La valeur maximale correspond au disque bleu pâle.

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Cette propriété de tangence se conserve sur le même graphe en coordonnées logarithmiques (puisque tout difféomorphisme conserve le contact).

Pour faire joli, voyons en 3D:
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Converted by Mathematica      March 29, 2000