Weierstrass par Bernstein

Clear[bern, transf]; 
bern[n_, k_, x_] := Binomial[n, k]*x^k*(1 - x)^(n - k)
transf[foo_, n_:10] := Sum[foo[k/n]*bern[n, k, x], {k, 0, n}]
Plot[bern[10, 3, x], {x, 0, 1}, PlotStyle -> Hue[0.8], 
   PlotLabel -> "Un polynôme de Bernstein"];

[Graphics:Images/bernWeier_gr_2.gif]

[Graphics:Images/bernWeier_gr_3.gif]
[Graphics:Images/bernWeier_gr_4.gif]
Plot[{poly, Abs[2*x - 1]}, {x, 0, 1}, Background -> GrayLevel[0.], 
   PlotLabel -> FontForm["Une fonction et son  approximation uniforme",
     {"Palatino", 16}], PlotStyle -> {RGBColor[0.879, 0.178, 0.078],
     RGBColor[0.103, 0.079, 0.877]}];

[Graphics:Images/bernWeier_gr_5.gif]

Même pour une fonction lipschitzienne, l'approximation n'est pas forcément très bonne près d'un point anguleux.

L'erreur à l'ordre 2n+1 est

[Graphics:Images/bernWeier_gr_6.gif]

On peut deviner une loi en K/Sqrt[n] par une étude numérique.


Converted by Mathematica      October 30, 2001