Tracé de la Brachistochrone

Le problème est de déterminer la courbe  d'équation [Graphics:Images/brachi_gr_1.gif]  qui sera décrite le plus vite possible par un solide lâché sans vitesse initiale à l'extremité [Graphics:Images/brachi_gr_2.gif] au temps [Graphics:Images/brachi_gr_3.gif] jusqu'au point final de coordonnées [Graphics:Images/brachi_gr_4.gif] (le tout sous l'action d'un champ de pesanteur uniforme… on prendra [Graphics:Images/brachi_gr_5.gif]!)

Le temps de parcours [Graphics:Images/brachi_gr_6.gif] de la courbe y = f(x) s'écrit comme l'intégrale de  [Graphics:Images/brachi_gr_7.gif] où  [Graphics:Images/brachi_gr_8.gif]  est la fonction suivante :

[Graphics:Images/brachi_gr_9.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_10.gif]

Preuve

Ceci par application du théorème sur la dérivée de la fonction réciproque: en effet on a en tout point par conservation de l'énergie (potentielle + cinétique)

[Graphics:Images/brachi_gr_11.gif]

D'où (avec [Graphics:Images/brachi_gr_12.gif] et [Graphics:Images/brachi_gr_13.gif]) le rapport entre [Graphics:Images/brachi_gr_14.gif] et [Graphics:Images/brachi_gr_15.gif]:

[Graphics:Images/brachi_gr_16.gif]

ce qui permet de calculer le temps de parcours en intégrant par rapport à [Graphics:Images/brachi_gr_17.gif].

Exemples de temps de parcours:

Ligne droite :

On a alors

Clear[f, y, z];
f[x_] :=  a - a x/b
Plot[f[x]/.{a->3,b->4}, {x,0,4}, PlotStyle->{Thickness[0.01], RGBColor[0.899992, 0.0995956, 0.0720073]}];
Clear[a,b];
y= f[x]; z = f'[x];
Integrate[Sqrt[(1+z^2)/(2(a-y))], {x,0,b},
    Assumptions->b>0]

[Graphics:Images/brachi_gr_18.gif]

[Graphics:Images/brachi_gr_19.gif]

NB: à [Graphics:Images/brachi_gr_20.gif] fixé, cela est miniimal quand [Graphics:Images/brachi_gr_21.gif].

Quart de cercle :

On a alors

Clear[x,y,a];
Solve[(x-a)^2+(y-a)^2==a^2, y]//First
{y -> a - Sqrt[2*a - x]*Sqrt[x]}
Clear[f, y, z, a, b];
f[x_] :=  a - Sqrt[2*a - x]*Sqrt[x]
b = a;
Plot[f[x]/.a->3, {x,0,3},
    PlotStyle->{Thickness[0.015],
        RGBColor[0.899992, 0.0995956, 0.0720073]},
    AspectRatio->Automatic];

[Graphics:Images/brachi_gr_22.gif]

L'intégrale est un peu délicate:

y= f[x]; z = f'[x];
Sqrt[(1+z^2)/(2(a-y))]//Simplify//PowerExpand
Integrate[%, {x,0,a}, Assumptions->a>0]
[Graphics:Images/brachi_gr_23.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_24.gif]

Ci-dessous encadrée, on écrit la condition d'Euler du calcul des variations :

[Graphics:Images/brachi_gr_25.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_26.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_27.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_28.gif]

Note pédagogique : la notation de ce calcul met bien en évidence que l'on dérive par rapport à une  position, puis que l'on  instancie les valeurs (y, z…) des variables.

[Graphics:Images/brachi_gr_29.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_30.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_31.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_32.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_33.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_34.gif]

Ouf !

Une tentative directe de résolution échoue :

[Graphics:Images/brachi_gr_35.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_36.gif]

On intègre seulement après multiplication par y'…
et quelques ruses "à la main"

[Graphics:Images/brachi_gr_37.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_38.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_39.gif]

Notre équation est donc [Graphics:Images/brachi_gr_40.gif]: on le vérifie en calculant

[Graphics:Images/brachi_gr_41.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_42.gif]

On doit rajouter à la main la constante d'intégration

[Graphics:Images/brachi_gr_43.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_44.gif]

Vu le problème physique considéré, c'est la solution à pente négative qui nous intéresse :

[Graphics:Images/brachi_gr_45.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_46.gif]

Une tentative brutale de résolution de

[Graphics:Images/brachi_gr_47.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_48.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_49.gif]

est encore vouée à un relatif échec. Mieux vaut paramétrer : dans

[Graphics:Images/brachi_gr_50.gif]

on a envie de poser [Graphics:Images/brachi_gr_51.gif]. En fait le mieux est de faire [Graphics:Images/brachi_gr_52.gif] :

[Graphics:Images/brachi_gr_53.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_54.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_55.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_56.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_57.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_58.gif]

[Graphics:Images/brachi_gr_59.gif]

[Graphics:Images/brachi_gr_60.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_61.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_62.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_63.gif]

… et voilà enfin x en fonction de t :

[Graphics:Images/brachi_gr_64.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_65.gif]

En changeant un petit peu la définition de c, on obtient la paramétrisation suivante, qui permet de chercher la "condition d'atterrissage" :

[Graphics:Images/brachi_gr_66.gif]

[Graphics:Images/brachi_gr_67.gif]

On aurait pu essayer de considérer l'équation d'ordre 1 comme étant à variables séparables…

[Graphics:Images/brachi_gr_68.gif]
[Graphics:Images/brachi_gr_69.gif]

Ce résultat dissuade ! et explique que l'on se contente d'une paramétrisation des courbes intégrales…


Converted by Mathematica      August 10, 2002