Convergence de deux séries pourraves

Ce sujet aurait été donné à l'oral de l'école Polytechnique (en PC*)

Sujet: discuter de la convergence des deux séries suivantes :

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où Phi est le nombre d'Or :

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Simulation numérique

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Approximation entière

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On constate que Phi^n approche une suite d'entiers, alternativement par excès et par défaut. On pourrait étudier la suite des différences avec ces entiers (c'est (-1/Phi)^n) ou plus directement exhiber la récurrence linéaire satisfaite par la suite (Phi^n). Elle se fonde sur l'équation caractéristique :

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la relation de récurrence est donc

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Elle est vérifiée (au 2 initial près) par la suite des entiers les plus proches. On obtient donc cette suite d'entiers en posant

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Vérifions:

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La différence avec la suite des Phi^n est aussi géométrique:

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Ce qui prouve que la convergence des séries proposées équivaut à celle de Sum 1/n Sin[truc[n] Pi/3] (resp. Cos):

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C'est devenu un problème modulo 6

Étudions donc la suite des truc[n] /3 modulo 2, autrement dit étudions la suite truc[n] modulo 6:

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On constate la périodicité (d'ordre 24). Reste à voir ce que donnent les valeurs moyennes des Sin et Cos sur cette tranche:

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Conclusion

Donc (avec une sommation par paquets…) la série des sinus converge, mais celle des cosinus diverge:

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On fait un calcul itératif des sommes partielles pour ne calculer qu'une fois chaque valeur; pour faire plus vite, on redéfinit la récurrence et on prend chose[n] au lieu de Phi^n par souci de précision pour n grand, c'est indiscernable de la série étudiée; en revanche on ne contrôle pas vraiment l'érosion numérique!
Maintenant on calcule, en les mémorisant, ces valeurs:

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Tracé de la suite des sommes partielles:

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Converted by Mathematica      May 15, 2000