Cercles de Villarceau du Tore

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Dérivation des équations

On considère une paramétrisation du tore :
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Cherchons l'équation du plan tangent pour u=0:
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Cherchons au point diamétralement opposé:
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Donc les plans tangents coïncident si, et seulement si, on a l'égalité
a + R Cos[t] = 0 (pour une valeur de t comprise entre /2 et )
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En d'autres termes, il reste
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Cherchons l'intersection avec la surface comme une condition sur t, u:
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Ces deux conditions sont en fait équivalentes (puisque R^2-a^2>0).
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On a donc au signe près (ce qui donne DEUX lieux)
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On veut montrer que ceci est un cercle
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Il y a peu à faire pour terminer: juste un Cos à chasser
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Au total, la première courbe est l'intersection d'un plan et de la SPHËRE d'équation
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C'est donc un cercle. Kif-kif l'autre. Ces deux cercles se coupent aux deux points de tangence du plan et du tore (cf. figure)


Converted by Mathematica      March 29, 2000