Un système de Volterra tridimensionnel


D'après un exercice de Verhulst, Dynamic Systems, Springer Verlag.
On considère deux populations de prédateurs en compétition, avec une population de proies.
Par exemples, Lynx, Loups & Lapins.
On peut modéliser grossièrement par le système suivant, où x désigne les proies  :

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avec x, y, z variables positives et a, b, c paramètres positifs aussi.

Linéarisation

Recherche des points critiques.
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Calculons la matrice jacobienne :
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Regardons ce que cela donne aux points critiques :
À l'origine
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Le point est instable. La variété attractive est de dimension 2 (tangente à yOz), la répulsive de dimension 1 (et tangente à Ox).

Au point (b, a, 0)
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Les valeurs propres sont b-c et les deux racines carrées de -a b. Si b>c, on a un ombilic instable sinon c' est stable et il y a des solutions périodiques stables (théorème de Lyapunov) :

Au point (c, 0, a)
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Les valeurs propres sont c-b et les deux racines carrées de -a c. Si b>c, on a un ombilic stable sinon c' est instable : le contraire du point précédent.

Cas particuliers: solutions planes autour des sol ctes

Dans le plan xOy

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C'est le système classique de Volterra-Lotka, on a des solutions périodiques, avec l'intégrale première suivante :

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Dans le plan yOz

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Ici l'origine est un point attracteur.

Dans le plan xOz

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On a encore des solutions périodiques.

Illustration numérique

On choisit a=3, b=1, c=2.

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Instabilité du point d'équilibre

On prend deux points de départ différents, mais proches du point stationnaire (ici c'est (2,0,3))

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On indique aussi le point stationnaire sur le graphique: on voit qu'après quelques tours de courtoisie, les solutions s'en éloignent lâchement.

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Cycle limite

Pour certaines valeurs de départ, on assiste au "redressement d'une oreille" : c'est cohérent avec l'origine zoologique du problème ! En fait, les solutions vont s'enrouler sur un cycle limite autour de LA solution stable.

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Le cycle limite observé est dans xOz (cf. Volterra bidimensionnel)

Solutions périodiques pour y, z >0.

On élimine x des deux dernières équations :

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D'où l'on tire (si b est différent de c)

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Il est donc nécessaire que b = c pour avoir des solutions périodiques. Alors y = k z et donc

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qui admet des solutions périodiques :

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C'est encore du "Volterra plan". Voyons cela en dimension trois, avec b=c=2:

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Converted by Mathematica      March 13, 2001