Pour en finir avec le Désir

Introduction :

Après des années bien difficiles, notamment en Europe, on commence à reconnaître une utilité incontestable à l'étude des ensembles des notes d'une partition, ou d'un passage musical. Le but de cet article est de présenter par des exemples variés un sous-domaine de ce type d'analyse, celle des symétries de l'ensemble de notes considéré. Cette analyse de symétries, qui n'utilise qu'une toute petite partie de la théorie des groupes, est peu connue des musiciens et nous parait présenter cependant un intérêt considérable, tant sur le plan de la description (par l'économie de signes qu'elle peut apporter, grâce à des outils ou concepts pertinents) que sur celui de l'explication, dans la mesure où toute analyse vise à révéler partie d'un sens recélé par la partition.
Par manque de place (la matière est celle d'un ouvrage entier) nous nous limiterons, dans la seconde partie, "Promenade sur la Terrasse" à une mosaïque d'exemples qui nous permettra de découvrir les principaux groupes de transformations que l'on rencontre en musique ; afin de faire sentir la puissance de ce type d'analyse, nous présenterons dans une première partie un modèle du très fameux motif du désir . Des milliers de pages ont été écrites sur ce sujet, mais ce modèle tiendra en trois lignes.
Bien entendu, les caractéristiques que le modèle, forcément partiel, permet de retrouver ne sont pas inédites : on les trouve, disséminées, avec bien d'autres encore, dans l'abondante littérature consacrée à ce fameux motif¹. Notre ambition est de présenter un éclairage nouveau, à la fois concis et d'une grande puissance explicative. Mais un éclairage nouveau n'est-il pas la définition de toute analyse ?

I. Réduction modulo 12

I.1 Le Mode TR

Le principe consistant à étudier l'ensemble des notes d'un fragment musical n'est guère contesté : c'est ainsi que l'on procède pour avoir une idée de sa tonalité, par exemple. Ici nous l'appellerons TR = {ré ré# mi fa sol# la la# si} ; il n'évoque certainement pas un mode majeur ou mineur. En le représentant par un diagramme en forme d'horloge, on obtient un dessin évocateur : les notes s'y correspondent deux à deux par une symétrie centrale (voir les flêches sur le schéma). La signification musicale de ce phénomène géométrique est connue : les deux moitiés de cet ensemble de notes se déduisent l'une de l'autre par une transposition d'un triton. Il y a donc seulement six formes transposées de ce mode, ce qui en fait l'un des modes à transpositions limitées (MTL) d'Olivier Messiaen². Nous allons chercher plus loin que cette propriété, et envisager toutes les symétries de ce mode. Il existe en effet deux symétries axiales (pliages) qui ont aussi cette propriété de laisser l'ensemble des notes inchangé. L'ensemble des transformations géométriques qui conservent ainsi une figure est un groupe, celui-ci est le groupe de Klein.

I.2 Le groupe de Klein³ (deuxième groupe diédral).

Felix Klein a donné comme définition d'un groupe "un ensemble de transformations tel que la composée de deux d'entre elles (c'est à dire l'une suivie de l'autre) soit toujours élément de l'ensemble"⁴. Ici, on a deux symétries axiales dont la composée est la symétrie centrale (rotation de 180°, autrement dit transposition d'un triton). En ajoutant la transformation dite identique, qui consiste à ne rien transformer⁵, on obtient un groupe fort connu (D₂, dit groupe de Klein, ou, si l'on insiste sur sa définition géométrique, groupe diédral). Ses quatre éléments sont donc {symétrie axiale 1 ; symétrie axiale 2 ; symétrie centrale ; identité}.

II. Retour à Wagner

Le lecteur circonspect est en droit de se poser une question fondamentale : "le phénomène que nous venons d'observer est-il significatif ? ou bien n'est-ce qu'une curiosité dépourvue d'intérêt ?" Notre réponse ne sera pas ambigüe : parmi les 4095 ensembles de notes possibles, 903 (soit 22%) ont une symétrie. De plus, seuls 75 (1,8%) en possèdent plus d'une (ce sont les 16 Modes à transposition limitées sous toutes leurs formes). On peut certainement exclure l'idée que l'existence d'un groupe de symétries de l'ensemble TR soit fortuite. Cependant le lecteur imaginaire évoqué ci-dessus s'interroge, à juste titre, sur la pertinence musicale de cette existence. Ceci nous contraint à point nommé à nous retourner vers la partition - et vers l'opéra entier.

II.1 Brèves indications biographiques

On se souvient que Tristan fut conçu et partiellement composé alors que Wagner était l'hôte des Wesendonck. L'amour de Richard et de Mathilde Wesendonck, s'il ne rencontra pas d'obstacle de la part d'Otto Wesendonck, était néanmoins condamné dès sa naissance. On a souvent vu dans le drame (le mythe médiéval a été profondément remanié par Wagner) une sublimation de ces amours désespérées⁶. Il est remarquable que ce tout premier leitmotiv, dit "motif du désir", s'achève sur une tension harmonique (un accord de septième de dominante⁷) et pendant tout l'opéra, aucune des nombreuses expositions de ce motif ne se résoud jamais, excepté l' ultime : le hautbois mélancolique égrène une dernière fois la fameuse sixte "la fa…" et le si final s'élève à la tierce de l'accord conclusif, "le rideau tombe lentement tandis que Mark bénit les cadavres"⁸. C'est dire à quel point cette simple phrase musicale recèle le sens de l'opéra entier, à savoir qu'un amour surhumain ne se peut résoudre que dans la mort.

II.2 Analyse mélodique (sur une indication du Sâr Péladan).

L'auditeur le moins averti remarque immédiatement que le motif du désir est fait de la juxtaposition de deux fragments chromatiques :

On reconnait dans les notes de ces deux tétracordes les deux moitiés de TR qui sont échangées par la première symétrie axiale. Selon le Sâr Péladan (grand Wagnerophile) il faut voir dans ces deux tétracordes décalés dans le temps et de sens contraires une métaphore du tragique destin de Tristan et Isolde. Ainsi, Wagner a tiré un habile parti de la première symétrie. Que dire de la seconde ?

II.3 Analyse harmonique : "l'accord de Tristan"

Il n'y a que deux accords dans le motif du désir ; le dernier, déjà mentionné plus haut est une septième de Dominante (mi sol# ré si), agrémentée d'une note de passage. Le premier, mis en avant par la dynamique et l' orchestration, est le fameux accord de Tristan, qui doit occuper une moitié de l'abondante littérature consacrée à Tristan. Nous verrons plus bas comment ce mystérieux accord peut être dérivé d'un algorithme très simple. Considérons seulement le diagramme obtenu par la juxtaposition de ces deux accords :

On constate immédiatement que les deux accords sont échangés par la deuxième symétrie axiale. Il est fascinant de s'apercevoir que "le vieux magicien" a su &emdash; et avec quelle simplicité &emdash; se servir de tout le groupe des symétries de TR pour écrire le plus fameux de tous ses leitmotiven. Il est temps maintenant d' en énoncer la description :

II.3.a Un modèle concis du motif du désir

a) L'ensemble des notes du motif est le quatrième mode de Messiaen, TR ; il a donc le groupe de Klein comme groupe de symétries.
b) Les deux segments mélodiques du motif sont deux moitiés de TR symétriques par la première symétrie axiale.
c) Les deux accords du motif sont échangés par la deuxième symétrie axiale.

Bien entendu, ces trois lignes ne rendent pas compte de l'organisation rythmique du matériau, ni de la position des accords, encore moins de leur orchestration… Au prix d'un plus grand nombre de contraintes arbitraires⁹, il est possible de donner un modèle plus complet (et complexe) qui permette de produire le motif de façon déterministe (par exemple, informatiquement) mais nous avons préféré nous en tenir à cette description partielle, dont la puissance descriptive nous semble significative par rapport au petit nombre des signes qui la composent. Donnons néanmoins une variante, ou "chimère" .

II.3.b L'accord de Tristan, nécessité d'ordre algorithmique.

Pour satisfaire les lecteurs épris de modèles complets, voici en revanche une description de l'accord de Tristan en trois axiomes :

A1 : l'accord cherché est un sous-ensemble à quatre sons de TR.
A2 : l'accord cherché doit être non banal¹⁰.
A3 : (dissonnance) l'accord contient au pire une seconde majeure.

Ces axiomes raisonnables, qui répondent visiblement à des préoccupations esthétiques, permettent d'écrire un programme itératif qui teste chacun des 70 accords de quatre sons extraits de TR : on trouve seulement… DEUX solutions, l'une étant {fa si ré# sol#} et l'autre son transposé d'un triton {si fa la ré}, qui ne pouvait manquer de convenir aussi.

III. Promenade sur la Terrasse : autres exemples.

La Terrasse des audiences au clair de lune (Debussy, Préludes, II) a fait l'objet d'un florilège d'analyses souvent très subtiles, parfois passionnantes¹¹. C'est une bonne raison de choisir cette pièce pour montrer ce que la considération des groupes de symétrie peut apporter à l'analyste. De plus, elle nous conduira à de nouveaux groupes fort dignes d'intérêt. Bien entendu, ici moins encore qu'avec Tristan, nous ne prétendons à l'exhaustivité, ni sans doute à l'originalité.

III.1 Une manifestation de D₂

On retrouve le groupe D₂ en divers endroits dans cette partition :
&emdash; d'abord partout où apparaît TR, et nous y reviendrons (si nombreux sont ceux qui ont remarqué l'omniprésence de l'accord de Tristan, ou des septièmes de Dominante, peu ont relevé celle de l'ensemble qui les fonde en les englobant) ;
&emdash; puis de manière exemplaire vers la fin de la deuxième page. Mais cette fois nous devons introduire une dimension temporelle, par l'opération familière qui consiste à considére la partition comme un graphique où le temps croît de gauche à droite et les hauteurs du bas vers le haut¹².

N'est-il pas remarquable que l'on retrouve à un niveau structurel (parmi de multiples citations de l'accord même, de son symétrique, la septième de dominante, ou de TR) cette évocation par son groupe de symétries de Tristan, évocation discrètement soulignée par le tétracorde chromatique¹³ ? À notre avis, il y a là un hommage plus frappant que la citation burlesque du motif du désir dans Golliwog's Cake Walk &emdash; et plus sincère car plus caché
Plus généralement, nous pensons qu' une analyse des symétries de la structure hors-temps est un premier pas indispensable vers la compréhension et l'unification des multiples facettes de La Terrasse. Dans le numéro 16 de la Revue d'Analyse Musicale, on lit successivement : “Il faut donc trouver ailleurs le système des références dans lesquelles ces accords sont inscrits” (Théo Hirsbrunner), “Le motif harmonique fondamental, l' hexacorde 6-27, fournit un indice significatif quant à la présence de l'échelle octatonique [le quatrième Mode de Messiaen], car c' est une des six classes [modulo octave] d' hexacordes présentes dans ce groupement de huit notes.” (Allen Forte ) et : “… sur le plan de la morphologie des accords, il faut encore signaler l'utilisation de formes dérivées des accords de base par symétrie…” (Marcel Mesnage).
Nous nous contenterons d'esquisser un mouvement dans le sens d'un modèle plus général en remarquant que TR (sous la forme {sol# sol fa# fa ré do# do si} par exemple, cf. infra) contient à la fois deux septièmes de dominante, deux accords de Tristan et une septième diminuée (sur sol#), chacune de ces diverses composantes étant jugée primordiale par au moins un des analystes de la pièce. De plus, Marcel Mesnage a constaté par une analyse statistique une large occurence d'accords “en relation évidente avec la gamme par tons”. Or la gamme par tons est, comme la septième diminuée, une façon de diviser la gamme chromatique de façon régulière, autrement dit ces deux ensembles correspondent de façon immédiate à deux groupes de transpositions, respectivement transpositions d'un ou plusieurs tons et transpositions à la tierce mineure. Les effets de ces deux groupes sur le contenu mélodique et harmonique de l'œuvre ont été suffisamment étudiés pour que nous ne nous y attardions point. Eloignons-nous plutôt un instant de La Terrasse pour mieux y revenir ultérieurement.

III.2 La symétrie glissée

Dans la perspective de cette dimension temporelle, nous allons considérer des groupes infinis. Bien entendu, une œuvre musicale étant généralement de durée limitée, ce côté infini ne sera que suggéré par un caractère répétitif. Rappelons la façon dont Tristan et Isolde se correspondent :

Les hauteurs sont renversées et les moments de l'énonciation (les attaques des notes) sont décalées d'exactement une mesure (à la dernière près). Géométriquement, on a affaire à une symétrie d'axe horizontal suivie d'une translation, horizontale elle aussi. Une telle opération est une symétrie glissée, elle est extrêmement répandue dans la musique occidentale et mériterait à elle seule un ouvrage entier. Contentons-nous de quelques exemples :
Il s'en trouve un au début de la Terrasse, dans le dessin supérieur du tout premier motif en septièmes : les quatre dernières notes en sont la# sol# mi# sol, qui se correspondent par une symétrie glissée. On trouve le même opérateur, par exemple, au début du sujet de la fugue en sol mineur du premier livre du Wohltemperiertes Klavier :

L’exemple suivant, emprunté au fabuleux Adagio du Concerto en ré mineur de Mozart, est encore plus significatif, puisque le do # qui suit la symétrie glissée énonce en fait l’une des extrémités de l’axe de symétrie (l’autre étant sol naturel).
Ce dernier exemple est d'une très grande richesse : on constate que la même symétrie glissée agit sur la basse (échangeant fa# et sol#) qui au total énonce un renversement en augmentation¹⁴ des trois premières croches du chant. Une analyse complète des deux thèmes de ce mouvement devra certainement s'appuyer sur des opérateurs de symétrie.

III.3 La ritournelle de la Terrasse.

Une ligne mélodique de la Terrasse a attiré l'attention des analystes ; c'est la ritournelle initiale, arabesque mystérieuse et exotique :

Il y a des symétries centrales évidentes qui permettent d'engendrer tout le motif à partir de six notes consécutives. Il peut être produit par un automate¹⁵, qui donnera autant de variantes qu'il y aura d'inputs différents¹⁶. En voici un exemple :

III.4 Un deuxième groupe de frise dans Chopin.

André RIOTTE a relevé l'exemple suivant d'un motif répétitif dont le contenu est un Mode à Transpositions Limitées ; il s'agit de la main droite des mesures 130/133 de la Première Ballade opus 23 ¹⁷ :

Ce trait n'est pas en lui-même extrêmement riche en symétries, mais à une note près, on trouverait là un remarquable groupe de frise ; il suffirait pour cela que le ré succédant au dob fût remplacé par un fa naturel. On aurait alors sous forme graphique

Il est remarquable que l'on trouve peu après (mesures 136-137) une autre frise authentique, plus riche en symétries :

III.5 Un dernier groupe de frise dans la Puerta del Vino.

Le visiteur de l'Alhambra de Grenade sera touché, s'il est mélomane, par la petite plaque à la mémoire de Claude Debussy qui se trouve sous la Puerta del vino. Les merveilleuses arabesques et azulejos de l'art mauresque risquent cependant de lui faire oublier le compositeur. Ce serait peut-être pourtant le moment de s'en souvenir : non seulement le voyage de Debussy à Grenade occupe une place importante dans les titres de ses œuvres, mais le style particulier de décoration de l'Alhambra a bien pu l'inspirer pour leur construction musicale. On trouve en effet à l'Alhambra toutes sortes de groupes de frises et de pavages¹⁸ et il est naturel d'en rechercher l'écho dans les pièces du musicien français. Nous nous limiterons à un seul exemple : on trouve dès les premières mesures de la Puerta del Vino ¹⁹ ce motif ondoyant :

On y reconnait le plus compliqué des sept groupes de frises ; ce dernier groupe est déjà apparu (sous une forme oblique) dans le deuxième extrait de la Première Ballade.²⁰

En manière de conclusion :

Nous espérons, par ces quelques exemples, avoir sensibilisé le lecteur à ce mode original de vision d'une partition. Si le champ de son application paraît limité, l'avenir l'élargira. Le cadre imparti ne nous a malheureusement pas permis de développer certains des exemples autant que nous l'eussions souhaité. A défaut d'un exposé systématique et exhaustif d'une théorie constituée, l'analyste aura trouvé ici des jalons pour de nouvelles et gratifiantes perspectives de recherche. Si une raison cachée de la beauté est la régularité des formes, il ne faut négliger aucun des moyens permettant de la dévoiler.

¹ On pourra notamment consulter deux références récentes : Basic Atonal Theory de J.Rahn, (Mc Millan, NY 80) et New approaches of the linear analysis of music d'A. Forte (Journal of American Musicological Society Vol XLI/2) où l'on trouvera de nombreuses références bibliographiques.

² Le quatrième dans sa nomenclature. Bien qu' il n' en recense que 7, il en existe en fait 16 (en excluant le mode complet à douze notes, et le mode vide à 0 notes).

³ Mathématicien allemand, célèbre pour sa bouteille sans intérieur ni extérieur et ardent promoteur d'un renouveau de la géométrie par l'étude des groupes de transformations laissant invariantes certaines classes de figures plutôt que par l'étude des figures elles-mêmes (programme d'Erlangen, 1876).

⁴ Cette définition est inexacte pour un mathématicien, mais elle équivaut à la définition rigoureuse (Magma associatif unifère symétrique) … et indigeste, dans tous les cas qui peuvent préoccuper le musicien, sous réserve toutefois de vérifier que les transformations considérées soient réversibles.

⁵ Il est notoire que tout bon mathématicien est paresseux.

⁶ CF. Pourtalès (Wagner : vie d'un artiste) et Rougemont (l'Amour et l'Occident, 10/18).

⁷ Ce n'est pas en soi une nouveauté : l'une des Scènes d'enfant de R. Schumman s'achève aussi sur une septième de dominante.

⁸ Ce sont les indications de la partition.

⁹ Il n'existe que six façons de découper le Mode TR en deux parties symétriques l'une de l'autre (par rapport au premier axe) qui sont données par les schémas suivants :

Si l'on veut avoir les deux accords (tracés sur le schéma) en conservant le cadre rythmique de Wagner, il n'y a guère de possibilités. Le lecteur est invité à expérimenter. En particulier, si l'on tient à ce que {ré ré#} et {sol# si} appartiennent respectivement à chacune des deux moitiés, pour conserver les deux accords dans leurs renversements originaux, le N° 1 est la seule solution. Même sans aller si loin, les variantes sont limitées si par exemple on veut conserver le schéma rythmique : soient {n₁…n₄} et {s(n₁)…s(n₄)} les deux moitiés, alors {n₃, s(n₁)} doit être inclus dans l'accord de Tristan et {n₄, s(n₄)} dans la septième de dominante symétrique, donc {n₄, s(n₄)} est l'ensemble {si, ré}. On teste alors dans chacun des six cas si la première condition peut être satisfaite. Par exemple, pour le N° 2, n₄=ré et le seul n₃ possible est fa. s(n₁) doit être dans {si ré# sol#} mais si et sol# sont déjà pris : reste s(n₁)=ré#, d'où n₁=la#. Cela donne l'artefact ci-dessus comme unique solution.

¹⁰ Cette contrainte est évidemment très liée à la date de la composition.

¹¹ RAM n° 16.

¹² Cette modélisation simple permet de formaliser des opérations classiques comme rétrogradation, renversement, etc…

¹³ Il y a deux autres allusions dans cette phrase musicale. Les voyez-vous ?

¹⁴ La traduction géométrique en est une similitude indirecte, objet plus compliqué mais digne d'intérêt : on le rencontre très souvent dans la Terrasse (cf. en particulier les exemples supra).

¹⁵ Infiniment plus simple que celui qui recrée la première pièce pour quatuor à cordes de Stravinski (cf l'article d'André Riotte et Marcel Mesnage dans la Revue d'Analyse Musicale N° 10).

¹⁶ En fait moins : des inputs différents peuvent donner la même frise.

¹⁷ Informatique et structures musicales, polycopié Paris VIII.

¹⁸ En fait, il est remarquable que l'on y trouve tous les 17 groupes de pavages plans, et les 7 groupes de frise, alors que la démonstration de leur existence et unicité date de 1891 (par Fedorov, un chimiste russe).

¹⁹ Second livre des Préludes pour piano.

²⁰ Sur les groupes de frise, avec des illustrations en musique classique, lire Kreisleriana publié par l'IREM de Caen (Bd M^l Juin, 14000 CAEN - 1985).